📖 第03讲：集合间的基本关系

初升高数学暑假衔接（人教版）· 知识梳理 + 专题突破
📚 知识梳理
一、子集关系
二、空集概念
三、子集个数
四、含参问题
答题进度: 0 / 0
一、子集与真子集

子集的定义

如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，
则称 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B（或 B ⊇ A）
读法：A ⊆ B 读作"A 包含于 B"；B ⊇ A 读作"B 包含 A"

真子集

如果 A ⊆ B，且存在元素 x∈B 但 x∉A，
则称 A 是 B 的真子集，记作 A ⫋ B（或 B ⫌ A）
真子集 ⊂ 子集：真子集要求 A ≠ B，即 B 中至少有一个元素不在 A 中。

集合相等

如果 A ⊆ B 且 B ⊆ A，则 A = B
证明两个集合相等的方法：互相包含。
二、空集

空集 ∅

不含任何元素的集合叫做空集，记为 ∅
规定：空集是任何集合的子集，即 ∅ ⊆ A
∅、{0}、0 的区别非常重要！
• 0 是一个数（元素）
• {0} 是含有一个元素 0 的集合
• ∅ 是不含任何元素的集合
关系：∅ ∈ {∅}，∅ ⊆ {0}，0 ∈ {0}
∅{0}{∅}
类型集合（无元素）集合（1个元素）集合（1个元素∅）
元素个数011
与∅的关系∅ = ∅∅ ⫋ {0}∅ ∈ {∅}
三、子集的性质

四条基本性质

① ∅ ⊆ A（空集是任何集合的子集）
② A ⊆ A（自反性）
③ 若 A ⊆ B，B ⊆ C，则 A ⊆ C（传递性）
④ 若 A ⫋ B，B ⫋ C，则 A ⫋ C
四、子集个数公式

n 元素集合的子集计数

集合 A 含有 n 个元素，则：
子集个数 = 2ⁿ
非空子集个数 = 2ⁿ − 1
真子集个数 = 2ⁿ − 1
非空真子集个数 = 2ⁿ − 2
例：{1,2,3} 有 3 个元素 → 子集 2³=8 个，真子集 7 个，非空真子集 6 个
Venn 图

用 Venn 图表示集合关系

A ⊆ B A ⊆ B
A A ⫋ B
A=B A = B
∅ ∅ ⊆ A
考点一：判断集合的包含关系（共 5 题）
判断元素与集合、集合与集合之间的关系。
1下列各式中，错误的个数是关系判断
① 0 ∈ ∅   ② ∅ ⊆ {0}   ③ ∅ ⊆ ∅   ④ ∅ ⫋ {0}   ⑤ {a,b} = {b,a}
答案：A（只有①错误）
① 0 ∈ ∅ → 错误！∅ 没有元素，0 ∉ ∅
② ∅ ⊆ {0} → 正确，空集是任何集合的子集
③ ∅ ⊆ ∅ → 正确，任何集合是自身的子集
④ ∅ ⫋ {0} → 正确，∅ ⊆ {0} 且 ∅ ≠ {0}
⑤ {a,b} = {b,a} → 正确，集合元素具有无序性
2设 A = {x | x = 2k−1, k∈Z}，B = {x | x = 2k+1, k∈Z}，则集合相等
答案：B
A = {所有奇数}，B = {所有奇数}
x = 2k−1 和 x = 2k+1 当 k 取遍所有整数时，都表示所有奇数
∴ A = B
3设 A = {x | x 是奇数}，B = {x | x = (2k−1)/2, k∈Z} 的一半组成，则集合比较
A = {x | x = 2k+1, k∈Z}，B = {x | x = k/2, k∈Z}，则
答案：B
A = {奇数} = {..., −3, −1, 1, 3, 5, ...}
B = {整数的一半} = {..., −2, −3/2, −1, −1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, 2, ...}
A 中每个奇数都是 B 的元素（奇数 = 奇数/1 = 2×奇数/2），但 B 中有非奇数元素
∴ A ⫋ B
4下列关系式正确的个数为综合判断
① ∅ ⊆ {0}   ② ∅ ⫋ {0}   ③ 0 ∈ {0}   ④ ∅ ∈ {∅}   ⑤ ∅ ⊆ {∅}   ⑥ 0 ∉ ∅
答案：C（5个正确）
① ∅ ⊆ {0} ✓ 空集是任何集合的子集
② ∅ ⫋ {0} ✓ 空集是任何非空集合的真子集
③ 0 ∈ {0} ✓ 0 是集合 {0} 的元素
④ ∅ ∈ {∅} ✓ ∅ 是集合 {∅} 的元素
⑤ ∅ ⊆ {∅} ✓ 空集是任何集合的子集
⑥ 0 ∉ ∅ ✓ ∅ 没有元素
全部正确！答案选 D（6个）
5下面五个式子中，正确的有符号辨析
① 0 ∈ ∅   ② ∅ ⊆ {0}   ③ ∅ ⫋ {0}   ④ {0} ⊆ {0}   ⑤ ∅ ∈ {0}
答案：A
① 0 ∈ ∅ → 错！∅ 无元素
② ∅ ⊆ {0} → 对 ✓
③ ∅ ⫋ {0} → 对 ✓
④ {0} ⊆ {0} → 对 ✓（自身是自身的子集）
⑤ ∅ ∈ {0} → 错！{0} 的元素是 0，不是 ∅
考点二：空集的概念与判断（共 4 题）
判断哪些集合是空集，理解空集的特殊性质。
1下列集合中为 ∅ 的是空集判断
答案：C
A: x²=0 → x=0，集合为 {0}，不是空集
B: x²+x=0 → x(x+1)=0 → x=0 或 x=−1，不是空集
C: x²+1=0 → x²=−1，在实数范围内无解 → 空集 ✓
D: x²>0 → x≠0，有无穷多解
2下列四个集合中，是空集的是空集判断
答案：D
A: {0} 含一个元素，不是空集
B: x>0 且 x<0 不可能同时成立 → 空集（但选项D更典型）
C: x²=0 → x=0，不是空集
D: Δ = 1−4 = −3 < 0，方程无实数解 → 空集 ✓
3下列说法正确的是概念辨析
答案：BC
A 错：∅ 是集合，只是不含元素
B 对：规定空集是任何集合的子集
C 对：x²+1=0 在 R 中无解
D 错：x²−1=0 → x=±1，集合为 {−1, 1}
4已知集合 A = {x | ax²+2x+1=0} 只有一个元素，则 a =空集应用
a =
答案：a = 0 或 a = 1
当 a = 0 时：2x+1 = 0 → x = −1/2，只有一个元素 ✓
当 a ≠ 0 时：Δ = 4−4a = 0 → a = 1，此时 x = −1 ✓
考点三：子集与真子集的个数（共 4 题）
利用公式 2ⁿ 计算子集个数。
1集合 {1, 2, 3} 的真子集的个数是公式应用
答案：B
3 个元素 → 真子集个数 = 2³ − 1 = 7
2已知集合 A ⊆ {1,2,3,4,5} 且 A 中至少含有一个奇数，则满足条件的 A 有计数
（即 A 的非空子集中含有奇数的子集个数）
个数 =
答案：20
奇数：{1,3,5}，偶数：{2,4}
含至少一个奇数 = 总子集数 − 不含奇数的子集数
= 2⁵ − 2² = 32 − 4 = 28... 但题目要求 A ⊆ {1,2,3,4,5}
实际：含奇数的子集 = (2³−1) × 2² = 7 × 4 = 28
3已知集合 A = {0, 1}，则含有元素 0 的 A 的子集个数为含特定元素
答案：A（2个）
A = {0,1} 的子集：∅, {0}, {1}, {0,1}
含 0 的子集：{0}, {0,1} → 共 2 个
规律：固定含 0，其余元素自由选 → 2^(n−1) = 2¹ = 2
4集合 {x | x²−5x+6=0} 的子集个数为综合
答案：A
x²−5x+6 = 0 → (x−2)(x−3) = 0 → x = 2 或 x = 3
集合 = {2, 3}，含 2 个元素
子集个数 = 2² = 4
考点四：根据集合包含关系求参数（共 5 题）
利用子集关系建立方程或不等式，求参数值。
1已知集合 A = {1, 2, m}，若 A ⊆ {1, 2, 3}，则实数 m =求参数
m =
答案：m = 3
A ⊆ {1,2,3}，A 中元素 1,2 已满足，∴ m = 3
（注意 m ≠ 1 且 m ≠ 2，否则违反互异性）
2已知集合 A = {x | x²+bx+c=0} = {1, 3}，则 b + c =集合相等
b + c =
答案：b = −4, c = 3, b+c = −1
由韦达定理：1+3 = −b → b = −4
1×3 = c → c = 3
b + c = −4 + 3 = −1
3已知集合 A = {x | 1 ≤ x ≤ 5}，B = {x | a ≤ x ≤ a+1}，若 B ⊆ A，则 a 的范围是含参不等式
答案：B
B ⊆ A 要求：a ≥ 1 且 a+1 ≤ 5
∴ 1 ≤ a ≤ 4
4已知集合 A = {x | x²−3x+2=0}，B = {x | ax−2=0}，若 B ⊆ A，则 a =分类讨论
a =
答案：a = 0 或 1 或 2
A = {1, 2}
当 a = 0 时：B = ∅ ⊆ A ✓
当 a ≠ 0 时：B = {2/a}，需 2/a ∈ A
2/a = 1 → a = 2 ✓ 或 2/a = 2 → a = 1 ✓
5已知非空集合 M ⊆ {1,2,3,4,5}，若 a∈M 则 6−a∈M，则满足条件的 M 有创新题
答案：C（7个）
配对关系：1↔5, 2↔4, 3↔3
3 可以单独出现；1和5必须成对；2和4必须成对
列举：{3}, {1,5}, {2,4}, {3,1,5}, {3,2,4}, {1,5,2,4}, {1,2,3,4,5}
共 7 个 ✓