📖 第02讲：因式分解

初升高数学暑假衔接（人教版）· 知识梳理 + 专题突破
📚 知识梳理
① 公式法
② 分组分解
③ 十字相乘
④ 配方法
🏋️ 综合练习
答题进度: 0 / 0
因式分解方法总览

因式分解的基本思路

因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式
步骤优先级：提公因式 → 公式法 → 分组分解 → 十字相乘 → 配方
因式分解与整式乘法是互逆运算！分解必须彻底，每个因式都不能再分解。
方法一：公式法

常用乘法公式（反向使用）

平方差：a² − b² = (a+b)(a−b)
完全平方：a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
立方和：a³ + b³ = (a+b)(a² − ab + b²)
立方差：a³ − b³ = (a−b)(a² + ab + b²)
分解 x⁴ − 16 = (x²+4)(x²−4) = (x²+4)(x+2)(x−2) —— 注意分解要彻底！
方法二：分组分解法

四项及以上的因式分解

关键：合理分组，使每组能分别分解，然后整体提取公因式
ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)
分组方式不唯一，但要保证最终能继续分解。
方法三：十字相乘法

二次三项式的分解利器

x² + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q)

一般型：ax² + bx + c → 找 a₁a₂=a, c₁c₂=c, 使 a₁c₂ + a₂c₁ = b
x² + 5x + 6：找两个数乘积为6、和为5 → 2和3 → (x+2)(x+3)
十字相乘法的核心：二次项系数分解 × 常数项分解，交叉相乘之和 = 一次项系数
方法四：配方法

凑完全平方式

x² + bx → x² + bx + (b/2)² − (b/2)² = (x + b/2)² − (b/2)²
再用平方差公式继续分解
x² + 6x + 5 = (x²+6x+9) − 4 = (x+3)² − 2² = (x+5)(x+1)
配方法还能用于求最值：(x+a)² + b ≥ b，当 x = −a 时取等号。
公式法练习（共 5 题）
运用平方差、完全平方、立方和差公式进行因式分解。
1因式分解：x³ − 8立方差
答案 =
答案：(x−2)(x²+2x+4)
x³ − 8 = x³ − 2³ = (x−2)(x²+2x+4)
利用立方差公式：a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
2因式分解：2x⁴ − 32提公因式+平方差
答案 =
答案：2(x+2)(x−2)(x²+4)
2x⁴−32 = 2(x⁴−16) = 2(x²+4)(x²−4) = 2(x²+4)(x+2)(x−2)
3因式分解：x² − 4xy − 2y + x + 4y²分组+公式
答案：B
x²−4xy+4y² + x−2y = (x−2y)² + (x−2y) = (x−2y)(x−2y+1)
4因式分解：a(a−3) + 2(3−a)提公因式
答案：B
a(a−3) + 2(3−a) = a(a−3) − 2(a−3) = (a−3)(a−2)
关键：3−a = −(a−3)，变号后提取公因式 (a−3)
5已知 a²+a−3=0，求 a²(a+4) 的值整体代入
答案 =
答案：9
∵ a² = 3−a
a²(a+4) = (3−a)(a+4) = 3a+12−a²−4a = −a²−a+12
= −(a²+a) + 12 = −3 + 12 = 9
分组分解法练习（共 4 题）
四项以上多项式的因式分解，关键是合理分组。
1分解因式：a²−b²+2a+1分组+完全平方
答案 =
答案：(a+b+1)(a−b+1)
a²+2a+1 − b² = (a+1)² − b² = (a+1+b)(a+1−b)
2分解因式：x²−y²+6y−9分组+完全平方
答案：A
x² − (y²−6y+9) = x² − (y−3)² = (x+y−3)(x−y+3)
3已知 △ABC 三边满足 a²−ab−2b² = 0，判断 △ABC 的形状因式分解应用
答案：B
a²−ab−2b² = (a−2b)(a+b) = 0
∵ a, b > 0（三角形边长），∴ a+b ≠ 0
∴ a = 2b，即有两边成比例关系 → 等腰三角形
4已知 x²+y²−2x+4y+5 = 0，求 x+y 的值配方法
x + y =
答案：1
(x²−2x+1) + (y²+4y+4) = 0
(x−1)² + (y+2)² = 0
∴ x = 1, y = −2 → x+y = 1+(−2) = −1
十字相乘法练习（共 5 题）
二次三项式因式分解的核心方法。
1因式分解：x² + 7x − 18十字相乘
答案 =
答案：(x−2)(x+9)
找两个数：乘积 = −18，和 = 7 → −2 和 9
x²+7x−18 = (x−2)(x+9)
2若 x² + px − 8 可分解为两个一次因式的积，则整数 p 的所有可能值是逆向思维
p =
答案：±2, ±7
−8 = 1×(−8) = (−1)×8 = 2×(−4) = (−2)×4
p = 两因数之和：−7, 7, −2, 2
3用十字相乘法解方程：x² − 6x + 8 = 0解方程
x₁ =
答案：x₁ = 4, x₂ = 2
x²−6x+8 = (x−2)(x−4) = 0
x = 2 或 x = 4
4因式分解：2x² + x − 6一般型十字相乘
答案：A
2 = 2×1，−6 = −3×2
交叉相乘：2×2 + 1×(−3) = 4−3 = 1 = 一次项系数 ✓
2x²+x−6 = (2x−3)(x+2)
5用十字相乘法解方程：2x² + 5x − 3 = 0解方程
x₁ =
答案：x = 1/2 或 x = −3
2x²+5x−3 = (2x−1)(x+3) = 0
x = 1/2 或 x = −3
配方法练习（共 4 题）
通过配方转化为完全平方式，再进一步分解或求最值。
1在横线上添一个常数，使 x² + 10x + ___ 成为完全平方式配方基础
常数 =
答案：25
一次项系数 10 的一半 = 5，5² = 25
x²+10x+25 = (x+5)²
2用配方法因式分解：x² + 4x − 5配方+平方差
答案 =
答案：(x+5)(x−1)
x²+4x−5 = (x²+4x+4) − 9 = (x+2)² − 3² = (x+5)(x−1)
3求 x² − 6x + 13 的最小值配方求最值
最小值 =
答案：4
x²−6x+13 = (x²−6x+9) + 4 = (x−3)² + 4
∵ (x−3)² ≥ 0，∴ 最小值 = 4（当 x = 3 时取到）
4已知 m² + n² − 4m + 6n + 13 = 0，求 m + n 的值非负性
m + n =
答案：−1
(m²−4m+4) + (n²+6n+9) = 0
(m−2)² + (n+3)² = 0
∴ m = 2, n = −3 → m+n = 2+(−3) = −1
综合练习（共 5 题）
综合运用各种因式分解方法。
1下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是概念辨析
答案：C
因式分解 = 把多项式化为几个整式的积
A 右边不是积的形式；B 是乘法展开（方向反了）；D 右边还有加法
只有 C 正确：x²−6x+9 = (x−3)² 是积的形式 ✓
2已知 a = 2018x+2018，b = 2018x+2019，c = 2018x+2020，则 a²+b²+c²−ab−ac−bc =技巧
答案 =
答案：3
原式 = ½[(a−b)² + (a−c)² + (b−c)²]
a−b = −1, a−c = −2, b−c = −1
= ½[1 + 4 + 1] = 3
3已知 a+b = 5，ab = 6，则 a² + b² =公式应用
答案 =
答案：13
a²+b² = (a+b)² − 2ab = 25 − 12 = 13
4多项式 x²+2x−3 的最小值为配方法
最小值 =
答案：−4
x²+2x−3 = (x²+2x+1) − 4 = (x+1)² − 4
最小值 = −4（当 x = −1 时取到）
5在实数范围内分解因式：x⁴ − 5x² + 6换元+十字相乘
答案 =
答案：(x²−2)(x²−3)
令 t = x²，原式 = t²−5t+6 = (t−2)(t−3)
代回：(x²−2)(x²−3)
在实数范围内可继续分解：(x−√2)(x+√2)(x−√3)(x+√3)