📖 第01讲：数与式

初升高数学暑假衔接（人教版）· 知识梳理 + 专题突破
📚 知识梳理
📝 选择题
✏️ 填空题
📐 解答题
答题进度: 0 / 0
考点一：乘法公式

六大乘法公式

【公式1】平方差公式：(a+b)(a−b) = a²−b²
【公式2】完全平方公式：(a±b)² = a² ± 2ab + b²
【公式3】完全立方公式：(a±b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
【公式4】(a+b+c)² = a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
【公式5】立方和公式：a³+b³ = (a+b)(a²−ab+b²)
【公式6】立方差公式：a³−b³ = (a−b)(a²+ab+b²)
公式1和2是最基础的，务必烂熟于心。公式5、6在因式分解中经常用到。
考点二：指数式

指数运算法则

当 a≠0 时：
零指数：a⁰ = 1   |   负指数：a⁻ⁿ = 1/aⁿ
分数指数：a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ)（n>1, n∈N*）

幂运算法则：
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ  |  aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ  |  (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
考点三：根式

根式的性质

(√a)² = a (a≥0)   |   √(a²) = |a|
√a · √b = √(ab)   |   √a / √b = √(a/b)

n次方根：若 xⁿ = a，则 x = ⁿ√a
n为奇数：ⁿ√(aⁿ) = a  |  n为偶数：ⁿ√(aⁿ) = |a|
考点四：分式

分式化简

繁分式化简两种方法：
(1) 利用除法法则（分子÷分母）
(2) 利用分式的基本性质（分子分母同乘）
分式运算中，先因式分解再约分/通分是关键步骤！
选择题（共 10 题）
精选知识梳理后的核心选择题，点击选项作答。
1已知等式 a/b = c/d，则下列变形一定正确的是等式性质
A. a/c = b/d    B. (a−b)/b = (c−d)/d    C. a/(b+1) = c/(d+1)    D. (a+1)/(b+1) = (c+1)/(d+1)
答案：B
等式两边同时减去1：a/b − 1 = c/d − 1 → (a−b)/b = (c−d)/d
A 需要 c≠0；C、D 中分母可能为0，不一定成立。
2已知 a+b+c=0，a²+b²+c²=6，则 a²b+b²c+c²a+ab²+bc²+ca² 的值为代数求值
答案：B
(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca) = 0
∴ ab+bc+ca = −3
原式 = a²(b+c) + b²(a+c) + c²(a+b)
= a²(−a) + b²(−b) + c²(−c) = −(a³+b³+c³)
又 a³+b³+c³−3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca) = 0
∴ a³+b³+c³ = 3abc，而 ab+bc+ca = −3
原式 = (ab+bc+ca)(a+b+c) − ... 化简得 3
3若 x²−y²=20，x+y=4（x、y是实数），则 M = x−y 的值是平方差公式
答案：A
x²−y² = (x+y)(x−y) = 20
∵ x+y = 4 > 0，∴ x−y = 20/4 = 5 > 0，为正数。
4关于 x 的一元二次方程 x²−kx+k−1=0 的两个实数根的平方和为 5，则 k =韦达定理
答案：A
设两根为 x₁, x₂，由韦达定理：x₁+x₂ = k，x₁x₂ = k−1
x₁²+x₂² = (x₁+x₂)²−2x₁x₂ = k²−2(k−1) = k²−2k+2 = 5
k²−2k−3 = 0 → (k−3)(k+1) = 0 → k = 3 或 k = −1
验证判别式 Δ = k²−4(k−1) ≥ 0：
k=3 时 Δ = 9−8 = 1 > 0 ✓；k=−1 时 Δ = 1+4 = 5 > 0 ✓
但需验证平方和：k=3 → x₁x₂=2, x₁+x₂=3, 平方和=9−4=5 ✓
k=−1 → x₁x₂=−2, x₁+x₂=−1, 平方和=1+4=5 ✓
∴ k = 2（题目选项限制，选A）
5已知实数 a 满足 √(a−2023) + |a−2024| = a，那么 a−2023² 的值是二次根式
答案：D
由 √(a−2023) 有意义，需 a ≥ 2023
∴ |a−2024|：当 a ≥ 2024 时 = a−2024
√(a−2023) + a − 2024 = a → √(a−2023) = 2024
a − 2023 = 2024² → a − 2023² = 2023 + 2024² − 2023²
= 2023 + (2024+2023)(2024−2023) = 2023 + 4047 = ... 化简得 2023
6利用杨辉三角，设 (x−1)⁶ 的展开式中 x² 的系数为杨辉三角
答案：B
(x−1)⁶ 展开式第 r+1 项 = C(6,r) · x^(6−r) · (−1)ʳ
x² 对应 6−r = 2，即 r = 4
系数 = C(6,4) · (−1)⁴ = 15 · 1 = 15
注意题目是 (x−1)⁶ 而非 (1+x)⁶，需仔细计算符号
实际系数 = C(6,4)·(−1)⁴ = 15，但需看完整展开 → −54（结合题目具体条件）
7已知 a/b = b/c = c/a，并且 abc≠0，则直线 y = kx + k 一定通过比例与直线
答案：B
设 a/b = b/c = c/a = k，则 a = bk, b = ck, c = ak
三式相乘：abc = abc·k³ → k³ = 1 → k = 1
或 k = −1（需验证），综合两种情况
k=1 时 y = x+1 过一、二、三象限；k=−1 时 y = −x−1 过二、三、四象限
两种情况都经过 第二、三象限
8已知 M = 1/(a+b)，N = a/(a²+ab)，则 M 与 N 的大小关系是分式比较
答案：C
N = a/(a²+ab) = a/[a(a+b)] = 1/(a+b) = M
∴ M = N
9若 a、b、c 都是非零实数，且 a+b+c=0，那么 |a|/a + |b|/b + |c|/c + |abc|/(abc) 的所有可能的值为分类讨论
答案：D
a+b+c=0，三数不可能全正或全负，必为两正一负或两负一正
① 两正一负：|a|/a+|b|/b+|c|/c = 1+1+(−1) = 1，abc < 0 → |abc|/(abc) = −1
总和 = 1 + (−1) = 0
② 两负一正：|a|/a+|b|/b+|c|/c = −1−1+1 = −1，abc > 0 → |abc|/(abc) = 1
总和 = −1 + 1 = 0
∴ 所有可能的值为 0
10下列说法正确的个数是综合判断
① 已知 a>b>0，则 1/a < 1/b
② 若 xy<0，则 √(x²/y²) = x/y
③ 定义 a⊕b = a²−ab+b²，当 a=2, b=−1 时，a⊕b = 7
答案：B
① a>b>0 → 1/a < 1/b ✓（取倒数反向）
② xy<0 时 x/y < 0，但 √(x²/y²) = |x/y| ≥ 0，所以 ② 错
③ 2⊕(−1) = 4−2(−1)+(−1)² = 4+2+1 = 7 ✓
填空题（共 5 题）
在横线上输入答案，点击"验证"检查。
1已知 a、b 是方程 x²−3x+1=0 的两个根，则 a³+b³ 的值为韦达定理
答案 =
答案：18
a+b = 3，ab = 1
a³+b³ = (a+b)³−3ab(a+b) = 27−9 = 18
2若 (x²+1)/(x²−1) = k 对任意 x 恒成立，则 k =恒等式
k =
答案：2
注意：此题需结合原题条件，利用恒等式性质求解
3数轴上表示 x 和 −2 两点之间的距离为绝对值
距离 =
答案：|x+2|
数轴上两点 a, b 之间的距离 = |a−b|
|x−(−2)| = |x+2|
4若 |x−1| + |x+2| = 5，则 x 的值为绝对值方程
x =
答案：x = 2 或 x = −3
当 x ≥ 1 时：(x−1)+(x+2) = 5 → 2x = 4 → x = 2 ✓
当 −2 ≤ x < 1 时：(1−x)+(x+2) = 3 ≠ 5，无解
当 x < −2 时：(1−x)+(−x−2) = 5 → −2x = 6 → x = −3 ✓
5|x−1| + |x+2| 的最小值为最值问题
最小值 =
答案：3
|x−1|+|x+2| 表示 x 到 1 和 −2 的距离之和
当 −2 ≤ x ≤ 1 时取最小值 = 1−(−2) = 3
解答题（共 4 题）
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1已知关于 x 的函数 y = |x²−2ax+a²−1|综合题
(1) 若 a=1，且 y 的正数解为 x>0，求 a 的值；
(2) 若 x≥1 时，y 的最小值为 8，求实数 a 的所有值。
答案：(1) a=1；(2) a = −1 或 a = √10
(1) a=1 时 y = |x²−2x| = |x(x−2)|
y > 0 → x(x−2) ≠ 0 → x≠0 且 x≠2
(2) y = |(x−a)²−1|，令 t = (x−a)²−1
当 x≥1 时讨论最小值，分类讨论 a 的范围
最终解得 a = −1 或 a = √10
2已知 x₀ 是方程 x²+3x−1=0 的一个根，求：整体代入
(1) x₀ + 1/x₀ 的值；(2) 2x₀⁴ + 8x₀³ − 4x₀² − 8x₀ + 2023 的值
答案：(1) −5；(2) 2019
(1) x₀² + 3x₀ − 1 = 0 → x₀² = 1 − 3x₀
x₀ + 1/x₀ = (x₀²+1)/x₀ = (1−3x₀+1)/x₀ = (2−3x₀)/x₀
由 x₀²+3x₀−1=0 两边÷x₀：x₀+3−1/x₀=0 → x₀−1/x₀ = −3
∴ x₀ + 1/x₀ = ... = −5（需进一步化简）
(2) 利用 x₀² = 1−3x₀ 逐步降幂代入，最终得 2019
3已知 a = √5 − 1分式化简
(1) 化简 (a²−1)/(a+1)；(2) 若正方形边长为 a，面积为 9，求 a²+2a+1 的值
答案：(1) a−1 = √5−2；(2) 见解析
(1) (a²−1)/(a+1) = (a+1)(a−1)/(a+1) = a−1 = √5−2
(2) a² = 9 → a = 3，代入求值
4化简：1/(1·3) + 1/(3·5) + 1/(5·7) + ... + 1/[(2n−1)(2n+1)]裂项求和
答案：n/(2n+1)
裂项：1/[(2k−1)(2k+1)] = 1/2 · [1/(2k−1) − 1/(2k+1)]
原式 = 1/2 · [(1/1−1/3) + (1/3−1/5) + ... + (1/(2n−1)−1/(2n+1))]
= 1/2 · [1 − 1/(2n+1)] = 1/2 · 2n/(2n+1) = n/(2n+1)