初升高数学暑假衔接 · 基于第03讲 · 并集 / 交集 / 补集 / 综合运算 / Venn图 / 容斥原理
① 文字语言：一般地，由所有属于集合 $A$ 或属于集合 $B$ 的元素组成的集合称为 $A$ 与 $B$ 的并集，记作 $A \cup B$，读作"$A$ 并 $B$"。
② 符号语言：$A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}$
③ 图形语言：Venn 图中两个圆覆盖的全部区域（阴影部分为 $A \cup B$）。
$A \cup B = B \cup A$（交换律）
$A \cup A = A$，$A \cup \varnothing = \varnothing \cup A = A$
如果 $A \subseteq B$，则 $A \cup B = B$
① 文字语言：由所有属于集合 $A$ 且属于集合 $B$ 的元素组成的集合，称为集合 $A$ 与 $B$ 的交集，记作 $A \cap B$，读作"$A$ 交 $B$"。
② 符号语言：$A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}$
③ 图形语言：Venn 图中两个圆重叠的部分（阴影部分为 $A \cap B$）。
$A \cap B = B \cap A$（交换律）
$A \cap A = A$，$A \cap \varnothing = \varnothing \cap A = \varnothing$
如果 $A \subseteq B$，则 $A \cap B = A$
文字语言：一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为 $U$。
符号语言：若 $A \subseteq U$，$B \subseteq U$，$C \subseteq U$，则 $U$ 为全集。
文字语言：若集合 $A$ 是全集 $U$ 的一个子集，由全集 $U$ 中不属于集合 $A$ 的所有元素组成的集合称为集合 $A$ 相对于全集 $U$ 的补集，记作 $\complement_U A$。
符号语言：$\complement_U A = \{x \mid x \in U \text{ 且 } x \notin A\}$
$A \cup \complement_U A = U$
$A \cap \complement_U A = \varnothing$
$\complement_U(\complement_U A) = A$（补集的补集是自身）
设集合 $U$ 为全集，$A$、$B$ 为 $U$ 的子集，则有：
（1）$\complement_U(A \cap B) = (\complement_U A) \cup (\complement_U B)$
（2）$\complement_U(A \cup B) = (\complement_U A) \cap (\complement_U B)$
用 $\text{card}(A)$ 表示有限集合 $A$ 的元素个数，则：
（1）$\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B)$
（2）$\text{card}(A \cup B \cup C) = \text{card}(A) + \text{card}(B) + \text{card}(C) - \text{card}(A \cap B) - \text{card}(B \cap C) - \text{card}(A \cap C) + \text{card}(A \cap B \cap C)$
设 $a$，$b$ 是两个实数，而且 $a < b$，我们规定：这里的实数 $a, b$ 叫做区间的端点。在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示。
| 定义 | 名称 | 符号 |
|---|---|---|
| $\{x \mid a \leq x \leq b\}$ | 闭区间 | $[a, b]$ |
| $\{x \mid a < x < b\}$ | 开区间 | $(a, b)$ |
| $\{x \mid a \leq x < b\}$ | 半开半闭区间 | $[a, b)$ |
| $\{x \mid a < x \leq b\}$ | 半开半闭区间 | $(a, b]$ |
实数集 $\mathbb{R}$：可以用区间表示为 $(-\infty, +\infty)$，"$\infty$"读作"无穷大"，"$-\infty$"读作"负无穷大"，"$+\infty$"读作"正无穷大"。
| 定义 | 符号 |
|---|---|
| $\{x \mid x > a\}$ | $(a, +\infty)$ |
| $\{x \mid x \geq a\}$ | $[a, +\infty)$ |
| $\{x \mid x < b\}$ | $(-\infty, b)$ |
| $\{x \mid x \leq b\}$ | $(-\infty, b]$ |
例 1：已知集合 $A = \{1, 2, 4\}$，$B = \{-1, 0, 1, 2\}$，则 $A \cup B =$（ ）
A. $\{-1, 0, 1, 2, 4\}$ B. $\{0, 1, 2, 4\}$ C. $\{1, 2\}$ D. $\{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}$
答案 A
过程
由集合 $A = \{1, 2, 4\}$，$B = \{-1, 0, 1, 2\}$，知 $A \cup B = \{-1, 0, 1, 2, 4\}$。
变式训练：设集合 $A = \{x \mid -1 \leq x \leq 3\}$，$B = \{x \mid 0 < x < 4\}$，则 $A \cup B =$（ ）
A. $[-1, 3]$ B. $(-\infty, 4)$ C. $(0, 3]$ D. $[-1, 4)$
答案 D
过程
集合 $A = \{x \mid -1 \leq x \leq 3\} = [-1, 3]$，$B = \{x \mid 0 < x < 4\} = (0, 4)$
则 $A \cup B = [-1, 4)$
例 2：已知集合 $A = \{0, 1, 3, 5\}$，$B = \{1, 3\}$，则 $A \cap B =$（ ）
A. $\varnothing$ B. $\{1, 3\}$ C. $\{3, 5\}$ D. $\{0, 3, 5\}$
答案 B
过程
因为 $A = \{0, 1, 3, 5\}$，$B = \{1, 3\}$，所以 $A \cap B = \{1, 3\}$。
变式训练：设集合 $A = \{x \in \mathbb{N} \mid -1 \leq x \leq 2\}$，$B = \{-2, -1, 0, 1\}$，则 $A \cap B =$（ ）
A. $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ B. $\{-1, 0, 1\}$ C. $\{0, 1\}$ D. $\{1\}$
答案 C
过程
因为 $A = \{x \in \mathbb{N} \mid -1 \leq x \leq 2\} = \{0, 1, 2\}$（注意 $\mathbb{N}$ 是自然数集，包含 0），又 $B = \{-2, -1, 0, 1\}$，
所以 $A \cap B = \{0, 1\}$。
例 3：设集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$A = \{2, 3, 5\}$，则 $\complement_U A =$（ ）
A. $\{5\}$ B. $\{1, 4\}$ C. $\{2, 3\}$ D. $\{2, 3, 5\}$
答案 B
过程
因为集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$A = \{2, 3, 5\}$，
$\complement_U A = \{1, 4\}$
变式训练：已知全集 $U = \mathbb{R}$，$A = \{x \mid -2 < x \leq 3\}$，则 $\complement_U A =$（ ）
A. $\{x \mid x \leq -2\}$ B. $\{x \mid x \leq -2 \text{ 或 } x > 3\}$ C. $\{x \mid x \geq 3\}$ D. $\{x \mid x < -2 \text{ 或 } x \geq 3\}$
答案 B
过程
因为 $U = \mathbb{R}$，$A = \{x \mid -2 < x \leq 3\}$，所以 $\complement_U A = \{x \mid x \leq -2 \text{ 或 } x > 3\}$。
与数的运算类似，先算括号里的；同级运算（多个交、多个并）从左到右。
常用技巧：先算补集，再算交或并。
例 4：已知全集 $U = \{x \in \mathbb{N}^* \mid x < 6\}$，集合 $A = \{1, 3\}$，$B = \{2, 3, 4\}$，则 $A \cap (\complement_U B) =$（ ）
A. $\{1\}$ B. $\{3\}$ C. $\varnothing$ D. $\{1, 3\}$
答案 A
过程
因为 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$（$\mathbb{N}^*$ 是正整数集），则 $\complement_U B = \{1, 5\}$，
所以 $A \cap (\complement_U B) = \{1, 3\} \cap \{1, 5\} = \{1\}$。
变式训练：设全集 $U = \mathbb{R}$，$M = \{x \mid 1 \leq x < 5\}$，$N = \{x \mid x < 0\}$，则 $M \cap (\complement_U N) =$（ ）
A. $\{x \mid -1 \leq x < 0\}$ B. $\{x \mid 0 < x < 5\}$ C. $\{x \mid 1 \leq x < 5\}$ D. $\{x \mid 0 \leq x \leq 5\}$
答案 C
过程
由题意 $M = \{x \mid 1 \leq x < 5\}$，$N = \{x \mid x < 0\}$，则 $\complement_U N = \{x \mid x \geq 0\}$，
故 $M \cap (\complement_U N) = \{x \mid 1 \leq x < 5\} \cap \{x \mid x \geq 0\} = \{x \mid 1 \leq x < 5\}$。
例 5：设集合 $A = \{x \mid -1 \leq x \leq 2\}$，$B = \{x \mid 0 \leq x \leq 4\}$，则 Venn 图阴影区域表示的集合是（ ）
A. $\{x \mid 0 \leq x \leq 2\}$ B. $\{x \mid 1 \leq x \leq 2\}$ C. $\{x \mid 0 \leq x \leq 4\}$ D. $\{x \mid 1 \leq x \leq 4\}$
答案 A
过程
由题意可知，Venn 图阴影区域表示的集合是 $A \cap B$，
所以 $A \cap B = \{x \mid -1 \leq x \leq 2\} \cap \{x \mid 0 \leq x \leq 4\} = \{x \mid 0 \leq x \leq 2\}$。
变式训练：（多选）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A. $B \cap (A \cup C)$ B. $\complement_U B \cap (A \cup C)$ C. $B \cap \complement_U (A \cup C)$ D. $(A \cap B) \cup (B \cap C)$
答案 AD
过程
如图，在阴影部分区域内任取一个元素 $x$，则 $x \in A \cap B$ 或 $x \in B \cap C$，
所以阴影部分所表示的集合为 $(A \cap B) \cup (B \cap C)$，
再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为 $B \cap (A \cup C)$，
所以选项 AD 正确。
例 6：已知集合 $A = \{1, 3, a^2\}$，$B = \{1, a + 2\}$，$A \cup B = A$，则实数 $a$ 的值为（ ）
A. $\{2\}$ B. $\{-1, 2\}$ C. $\{1, 2\}$ D. $\{0, 2\}$
答案 A
过程
由 $A \cup B = A$ 知：$B \subseteq A$。
当 $a + 2 = 3$，即 $a = 1$，则 $a^2 = 1$，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当 $a + 2 = a^2$，即 $a = -1$ 或 $a = 2$，
若 $a = -1$，则 $a^2 = 1$，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若 $a = 2$，则 $A = \{1, 3, 4\}$，$B = \{1, 4\}$，满足要求。
综上，$a = 2$。
变式训练：设集合 $A = \{x \mid -2 \leq x \leq 5\}$，$B = \{x \mid m + 1 \leq x \leq 2m - 1\}$，
（1）若 $m = 4$，求 $A \cup B$；
（2）若 $B \cap A = B$，求实数 $m$ 的取值范围。
答案 （1）$A \cup B = \{x \mid -2 \leq x \leq 7\}$；（2）$m \leq 3$
过程
（1）当 $m = 4$ 时，$B = \{x \mid 5 \leq x \leq 7\}$，因为 $A = \{x \mid -2 \leq x \leq 5\}$，所以 $A \cup B = \{x \mid -2 \leq x \leq 7\}$；
（2）由 $B \cap A = B$，得 $B \subseteq A$。
当 $B = \varnothing$ 时，满足题意，此时 $m + 1 > 2m - 1$，解得 $m < 2$；
当 $B \neq \varnothing$ 时，需满足：$\begin{cases} m + 1 \leq 2m - 1 \\ -2 \leq m + 1 \\ 2m - 1 \leq 5 \end{cases}$，解得 $2 \leq m \leq 3$。
综上，实数 $m$ 的取值范围为 $m \leq 3$。
例 7：某班 30 人，其中 17 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，9 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_________。
答案 11
过程
设喜欢篮球且喜欢乒乓球的人数为 $x$ 人，
则只喜爱篮球的有 $(17 - x)$ 人，只喜爱乒乓球的有 $(10 - x)$ 人，
由 $(17 - x) + (10 - x) + x + 9 = 30$，解得 $x = 6$，
所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 $17 - x = 11$ 人。
变式训练：向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度，有如下结果：赞成 A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人。则赞成 A 但不赞成 B 的有_____人。
答案 9
过程
由已知得赞成 A 的人数是 $50 \times \frac{3}{5} = 30$，
赞成 B 的人数是 $30 + 3 = 33$，
设 A、B 都赞成的学生数为 $x$，则 A、B 都不赞成的学生数为 $\frac{1}{3}x + 1$，
$30 + 33 - x + \frac{1}{3}x + 1 = 50$，解得 $x = 21$，
则赞成 A 但不赞成 B 的有 $30 - x = 9$ 人。
基础1. 设集合 $A = \{-3, -2, -1, 0, 1\}$，$B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$，则 $A \cup B$ 元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 8 D. 9
答案 C
$A \cup B = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}$，共 8 个元素。
基础2. 已知集合 $A = \{x \mid -1 < x < 2\}$，$B = \{x \mid 0 < x < 3\}$，则 $A \cup B =$（ ）
A. $\{x \mid -1 < x < 3\}$ B. $\{x \mid -1 < x < 0\}$ C. $\{x \mid 0 < x < 2\}$ D. $\{x \mid -4 < x < 0\}$
答案 A
$A \cup B = \{x \mid -1 < x < 3\}$
基础3. 集合 $A = \{x \mid 1 < x < 6\}$，集合 $B = \{1, 3, 5, 6, 7\}$，则 $A \cap B =$（ ）
A. $\{7\}$ B. $\{1, 3, 5, 6\}$ C. $\{3, 5\}$ D. $\{3, 5, 7\}$
答案 C
$A = \{x \mid 1 < x < 6\}$，$B = \{1, 3, 5, 6, 7\}$，所以 $A \cap B = \{3, 5\}$。
中等4. 已知全集 $U = \mathbb{R}$，集合 $A = \{-1, 0, 1, 2, 3\}$，$B = \{x \mid x \geq 2\}$，则 $A \cap (\complement_U B) =$（ ）
A. $\{-1, 0, 1\}$ B. $\{-1, 0, 1, 2\}$ C. $\{x \mid x < 2\}$ D. $\{x \mid -1 \leq x < 2\}$
答案 A
由集合 $B = \{x \mid x \geq 2\}$，可得 $\complement_U B = \{x \mid x < 2\}$，
又 $A = \{-1, 0, 1, 2, 3\}$，所以 $A \cap (\complement_U B) = \{-1, 0, 1\}$。
中等5. 已知集合 $A = \{x \mid -3 < x < 2\}$，$B = \{x \mid x < -3 \text{ 或 } x > 1\}$，则 $(\complement_{\mathbb{R}} A) \cap B =$（ ）
A. $(-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$ B. $(-\infty, -3) \cup [2, +\infty)$ C. $(-\infty, -3) \cup [1, +\infty)$ D. $[2, +\infty)$
答案 B
由 $A = \{x \mid -3 < x < 2\}$，可得 $\complement_{\mathbb{R}} A = \{x \mid x \leq -3 \text{ 或 } x \geq 2\}$，
所以 $(\complement_{\mathbb{R}} A) \cap B = \{x \mid x < -3 \text{ 或 } x \geq 2\} = (-\infty, -3) \cup [2, +\infty)$。
中等6. 已知集合 $A = \{x \mid 3x + 1 < 4\}$，$B = \{x \mid x - a < 0\}$，若 $A \cap B = A$，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）
A. $[1, +\infty)$ B. $(1, +\infty)$ C. $(-\infty, 1]$ D. $(-\infty, 1)$
答案 A
$A = \{x \mid 3x + 1 < 4\} = \{x \mid x < 1\}$，$B = \{x \mid x - a < 0\} = \{x \mid x < a\}$，
因为 $A \cap B = A$，所以 $A$ 为 $B$ 的子集，所以 $a \geq 1$。
中等7. 已知集合 $A = \{0, a\}$，$B = \{2a, b\}$，若 $A \cup B = \{0, 1, 2\}$，则 $b =$（ ）
A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 2
答案 C
若 $a = 1$，则 $2a = 2$，此时 $A = \{0, 1\}$，$B = \{2, b\}$，若 $A \cup B = \{0, 1, 2\}$，则 $b = 1$ 或 $b = 0$ 符合题意；
若 $a = 2$，则 $B = \{4, b\}$，不符合题意。
挑战8. 设集合 $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x < \frac{1}{2}\}$，$B = \{-1, 0, 1, 2\}$，能正确表示图中阴影部分（$B$ 中除去 $A$ 的部分）的集合是（ ）
A. $\{-1, 0, 1\}$ B. $\{1, 2\}$ C. $\{0, 1, 2\}$ D. $\{2\}$
答案 B
由题意，集合 $A = \{x \in \mathbb{Z} \mid -3 < x < \frac{1}{2}\} = \{-2, -1, 0\}$，
根据图中阴影部分表示集合 $B$ 中元素除去集合 $A$ 中的元素，即为 $\{1, 2\}$。
挑战9.（多选）已知集合 $M$、$N$ 的关系如图所示（$M \subset N$），则下列结论中正确的（ ）
A. $M \cap \complement_{\mathbb{R}} N = \varnothing$ B. $M \cup \complement_{\mathbb{R}} N = \mathbb{R}$ C. $\complement_{\mathbb{R}} M \cup N = \complement_{\mathbb{R}} M$ D. $\complement_{\mathbb{R}} M \cap N = \complement_{\mathbb{R}} M$
答案 BD
由图可知，$M \cap \complement_{\mathbb{R}} N = \varnothing$，A 错误；
$M \cup \complement_{\mathbb{R}} N = \mathbb{R}$，B 正确；
$\complement_{\mathbb{R}} M \cup N = \complement_{\mathbb{R}}(M \cap N) = \complement_{\mathbb{R}} N$，C 错误；
$\complement_{\mathbb{R}} M \cap N = \complement_{\mathbb{R}} M$，D 正确。
挑战10. 已知集合 $A = \{x \mid 2a < x < 3 - 2a\}$，$B = \{x \mid x < 5a + 1\}$
（1）若 $A \cup B = B$，求 $a$ 的取值范围；
（2）若 $A \cap B = \varnothing$，求 $a$ 的取值范围。
答案 （1）$a \geq \frac{2}{7}$；（2）$a \leq -\frac{1}{3}$ 或 $a \geq \frac{3}{4}$
过程
（1）由 $A \cup B = B$，知 $A \subseteq B$。
若 $A = \varnothing$，即 $3 - 2a \leq 2a$，$a \geq \frac{3}{4}$ 时符合题意。
当 $A \neq \varnothing$ 时，由题意得 $\begin{cases} 3 - 2a > 2a \\ 5a + 1 \geq 3 - 2a \end{cases}$，解得 $\frac{2}{7} \leq a < \frac{3}{4}$，
综上得 $a$ 的取值范围是 $a \geq \frac{2}{7}$。
（2）当 $A = \varnothing$，即 $a \geq \frac{3}{4}$ 时 $A \cap B = \varnothing$。
当 $A \neq \varnothing$ 时，由题意得 $\begin{cases} 3 - 2a > 2a \\ 5a + 1 \leq 2a \end{cases}$，解得 $a \leq -\frac{1}{3}$，
综上，$a$ 的取值范围是 $a \leq -\frac{1}{3}$ 或 $a \geq \frac{3}{4}$。