M04 · 乘法公式（完全平方 / 平方差）

公式卡片

$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

口诀："首平方，尾平方，二倍乘积放中央"

怎么用？三步走

① 认清"首"和"尾"：把式子看成 $(首 \pm 尾)^2$ 的形式

② 分别平方：首平方、尾平方（注意尾如果是带系数的整体，要整体平方）

③ 补上中间项：$\pm 2 \times 首 \times 尾$，符号跟着括号里的符号走

最高频错误（暗坑 #13）：$(a+b)^2 = a^2 + b^2$（漏了中间的 $2ab$！）
用数字验证：$(2+3)^2 = 5^2 = 25$，而 $2^2 + 3^2 = 13 \neq 25$。漏了 $2\times2\times3 = 12$。

例题精讲

例 1：计算 $(x + 3)^2$

过程

首 $= x$，尾 $= 3$

$(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

自检：三项都有吗？$x^2$（首平方）✓，$6x$（二倍乘积）✓，$9$（尾平方）✓。

例 2：计算 $(2a - 1)^2$

过程

首 $= 2a$，尾 $= 1$

$(2a-1)^2 = (2a)^2 - 2 \times 2a \times 1 + 1^2 = 4a^2 - 4a + 1$

常见错误：首平方写成 $2a^2$（只平方了 $a$），正确是 $(2a)^2 = 4a^2$，系数也要平方！

例 3（逆用）：填空：$x^2 + 10x + 25 = (x + \ ?\ )^2$

过程

看常数项：$25 = 5^2$ → 尾 $= 5$

验证中间项：$2 \times x \times 5 = 10x$ ✓ 匹配！

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$

逆用口诀："常数项开方得尾，再验中间二倍积"。这是因式分解的完全平方法，衔接 2 学过！

例 4（升级：负数/分数）：计算 $\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2$ 和 $(-x + 2)^2$

过程

$\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 = x^2 - 2 \times x \times \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = x^2 - x + \dfrac{1}{4}$

$(-x + 2)^2 = (-x)^2 + 2 \times (-x) \times 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$

常见错误：$\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ 写成 $\dfrac{1}{2}$；$(-x)^2$ 写成 $-x^2$。

课堂练习（完全平方，分层）

基础层（必做）

$(x + 5)^2$ 基础
$(x - 4)^2$ 基础
$(3x + 1)^2$ 基础

中等层（应做）

$(2x - 3)^2$ 中等
$\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2$ 中等
填空：$x^2 + 8x + 16 = (x + \ ?\ )^2$ 中等

挑战层（选做）

$(ab - 2)^2$ 挑战
填空：$4x^2 + 12x + \ ?\ = (2x + 3)^2$ 挑战

1 $x^2 + 10x + 25$

2 $x^2 - 8x + 16$

3 $(3x)^2 + 2\cdot3x\cdot1 + 1 = 9x^2 + 6x + 1$

4 $4x^2 - 12x + 9$

5 $x^2 + \dfrac{2}{3}x + \dfrac{1}{9}$

6 $(x + 4)^2$（验证：$2\times x\times 4 = 8x$ ✓）

7 $(ab)^2 - 2\cdot ab\cdot2 + 4 = a^2b^2 - 4ab + 4$

8 $9$（尾平方：$3^2 = 9$）

公式卡片

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

口诀："和乘差，等于平方差"（相同项的平方 − 相反项的平方）

怎么用？两步走

① 认准结构：两个括号里，有一项完全相同，另一项互为相反数

② 套公式：相同项的平方 − 相反项的平方

$(x+3)(x-3)$：相同项 $x$，相反项 $\pm3$ → $x^2 - 9$
$(2a+1)(2a-1)$：相同项 $2a$，相反项 $\pm1$ → $4a^2 - 1$

最高频错误（暗坑 #14）：$(a+b)(a-b) = a^2 + b^2$（错！）
中间项 $+ab$ 和 $-ab$ 会互相抵消，结果只有两项：$a^2 - b^2$。

数字验证：$(10+1)(10-1) = 11 \times 9 = 99$，而 $10^2 - 1^2 = 99$ ✓。这个技巧还能用来速算：$103 \times 97 = (100+3)(100-3) = 10000 - 9 = 9991$。

例题精讲

例 1：计算 $(x+7)(x-7)$

过程

相同项 $x$，相反项 $\pm7$：$(x+7)(x-7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49$

例 2：计算 $(3a + 2b)(3a - 2b)$

过程

相同项 $3a$，相反项 $\pm2b$：$(3a+2b)(3a-2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2$

常见错误：系数忘平方，写成 $3a^2 - 2b^2$。整个项都要平方！

例 3（变式：顺序调换）：计算 $(-x + 5)(x + 5)$

过程

先调整顺序看清楚：$(-x+5)(x+5) = (5-x)(5+x)$

相同项 $5$，相反项 $\pm x$：$= 5^2 - x^2 = 25 - x^2$

技巧：式子顺序被打乱时，先交换加法顺序还原成标准结构，再套公式。

例 4（逆用：因式分解）：分解 $x^2 - 16$、$9m^2 - 25$

过程

$x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4)$

$9m^2 - 25 = (3m)^2 - 5^2 = (3m+5)(3m-5)$

口诀："两项相减、都是平方 → 写成和乘差"。这是衔接 2 平方差分解的回顾。

课堂练习（平方差，分层）

基础层（必做）

$(x+2)(x-2)$ 基础
$(a-6)(a+6)$ 基础
分解因式：$x^2 - 25$ 基础

中等层（应做）

$(2a+3)(2a-3)$ 中等
$(x+3y)(x-3y)$ 中等
分解因式：$4x^2 - 9$ 中等

挑战层（选做）

$(-2x + y)(2x + y)$ 挑战
用平方差公式速算：$98 \times 102$ 挑战

1 $x^2 - 4$

2 $a^2 - 36$

3 $(x+5)(x-5)$

4 $4a^2 - 9$

5 $x^2 - 9y^2$

6 $(2x+3)(2x-3)$

7 调整为 $(y - 2x)(y + 2x) = y^2 - 4x^2$

8 $98\times102 = (100-2)(100+2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$

核心辨析：两个公式什么时候用哪个？

一眼判断法

看到 "一个括号 + 平方"：$(a\pm b)^2$ → 用完全平方公式，结果有三项
看到 "两个括号相乘"：$(a+b)(a-b)$ → 用平方差公式，结果有两项

式子	用哪个公式	结果
$(x+3)^2$	完全平方	$x^2 + 6x + 9$
$(x+3)(x-3)$	平方差	$x^2 - 9$
$(x-3)^2$	完全平方	$x^2 - 6x + 9$

对比记忆：同样有 $x$ 和 $3$，$(x+3)^2$ 的结果是三项 $x^2+6x+9$，而 $(x+3)(x-3)$ 的结果是两项 $x^2-9$。做题前先问自己：这是"平方"还是"相乘"？

辨析练习（先判断用哪个公式，再计算）

$(a+4)^2$ 基础
$(a+4)(a-4)$ 基础
$(2x-1)^2$ 中等
$(2x-1)(2x+1)$ 中等
$(x+2)^2 - (x-2)(x+2)$ 挑战
$(a+b)^2 - (a-b)^2$ 挑战

1 完全平方：$a^2 + 8a + 16$

2 平方差：$a^2 - 16$

3 完全平方：$4x^2 - 4x + 1$

4 平方差：$4x^2 - 1$

5 $(x^2+4x+4) - (x^2-4) = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4 = 4x + 8$（去括号时 $-(x^2-4)$ 每项变号！）

6 $(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = 4ab$（两个完全平方相减，平方项全抵消）

综合练习（限时 20 分钟）

每题必须先判断用哪个公式，再动笔。前 6 题必做，后 4 题为提升题。

$(x+6)^2$ 基础
$(x-5)(x+5)$ 基础
$(4x+1)^2$ 中等
$(5a-2b)(5a+2b)$ 中等
分解因式：$x^2 - 49$ 中等
填空：$x^2 - 12x + \ ?\ = (x-6)^2$ 中等
$\left(2x + \dfrac{1}{2}\right)^2$ 挑战
$(x+y)^2 - (x-y)^2$ 挑战
先展开再化简：$(x+3)^2 - (x+2)(x-2) - 5$ 挑战
已知 $a + b = 6,\; ab = 5$，求 $a^2 + b^2$ 的值。（提示：用完全平方公式变形）挑战

1 $x^2 + 12x + 36$

2 $x^2 - 25$

3 $16x^2 + 8x + 1$

4 $25a^2 - 4b^2$

5 $(x+7)(x-7)$

6 $36$（尾平方：$6^2=36$，验证 $2\times x\times6 = 12x$ ✓）

7 $4x^2 + 2x + \dfrac{1}{4}$

8 $(x^2+2xy+y^2) - (x^2-2xy+y^2) = 4xy$

9 $(x^2+6x+9) - (x^2-4) - 5 = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 4 - 5 = 6x + 8$

10 $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 36 - 10 = 26$（这就是韦达定理思想的延伸！）

自查清单

做完后对照自查：

☐ 完全平方公式的结果是不是三项？（漏 $2ab$ 是最常见的错）
☐ 平方差公式的结果是不是两项？（写成三项说明套错公式）
☐ 带系数的项平方时，系数也平方了？（$(2x)^2 = 4x^2$）
☐ 展开后相减时，括号前是"−"号的每项都变号了？