M02 · 正负数与代数运算

核心规则

加减法口诀

"同号相加取相同，异号相加取较大"

$(+3) + (+5) = +8$ （同正 → 取正）
$(-3) + (-5) = -8$ （同负 → 取负）
$(-3) + (+5) = +2$ （异号 → 取绝对值大的符号）
$(-7) + (+4) = -3$ （异号 → $|{-7}| > |{+4}|$，取负）

关键转换

"减去一个数 = 加上这个数的相反数"

$a - b = a + (-b)$
$3 - (-5) = 3 + 5 = 8$ （减去负数 → 变加号）
$(-2) - (+3) = (-2) + (-3) = -5$

乘除法符号规则

"同号得正，异号得负"

$(-3) \times (-4) = +12$ （负 × 负 = 正）
$(-3) \times (+4) = -12$ （负 × 正 = 负）
$(-12) \div (-3) = +4$ （负 ÷ 负 = 正）

多个数连乘：数负号的个数——奇数个负号为负，偶数个负号为正。

乘方规则（升级版重点）

"负数的偶次幂为正，奇次幂为负；但负号不进括号就不参与乘方！"

$(-3)^2 = (-3)\times(-3) = 9$ （偶次幂为正）
$(-3)^3 = (-3)\times(-3)\times(-3) = -27$ （奇次幂为负）
$-3^2 = -(3\times3) = -9$ （负号在括号外，不参与乘方！）
$(-1)^{2024} = 1$，$(-1)^{2023} = -1$

摸底卷高频陷阱（第 4、18 题）：$-3^2 = -9$ 而 $(-3)^2 = +9$。看到负号先问自己：它在括号里面还是外面？

例题精讲

例 1：计算 $(-8) + 3 - (-5) + (-2)$

过程

$(-8) + 3 - (-5) + (-2)$

$= (-8) + 3 + 5 + (-2)$ ← 减去负数变加号

$= [(-8) + (-2)] + [3 + 5]$ ← 正负分组

$= -10 + 8 = -2$

技巧：先把所有减法转为加法，然后把正数放一起、负数放一起分别相加，最后合并。

例 2：计算 $(-2) \times 3 \times (-5) \times (-1)$

过程

$(-2) \times 3 \times (-5) \times (-1)$

负号个数：$3$ 个（奇数）→ 结果为负

$= -(2 \times 3 \times 5 \times 1)$

$= -30$

例 3：计算 $|-3| + |{-7}| - |2 - 5|$

过程

$|-3| + |{-7}| - |2 - 5|$

$= 3 + 7 - |{-3}|$ ← 先算每个绝对值

$= 3 + 7 - 3 = 7$

常见错误：$|2-5| = 2-5 = -3$，忘了绝对值结果必须非负。正确：$|2-5| = |{-3}| = 3$。

例 4（升级：混合乘方）：计算 $-2^2 + (-3)^2 - 4 \times (-1)^3$

过程

$-2^2 + (-3)^2 - 4 \times (-1)^3$

$= -4 + 9 - 4 \times (-1)$ ← $-2^2=-4$（负号在外）；$(-3)^2=9$；$(-1)^3=-1$

$= -4 + 9 + 4 = 9$

常见错误：把 $-2^2$ 算成 $4$；或 $-4\times(-1)$ 算成 $-4$（负负得正，应为 $+4$）。

例 5（升级：分配律简化）：计算 $\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\right) \times (-12)$

过程（用分配律，免去通分）

$= \dfrac{1}{2}\times(-12) - \dfrac{2}{3}\times(-12) + \dfrac{3}{4}\times(-12)$

$= -6 + 8 - 9 = -7$

技巧：括号外乘的是分母的公倍数时，用分配律比先通分快得多。高中计算必备技巧！

课堂练习（正负数运算，分层）

每题先自己做，再点开答案核对。基础层必须全对，中等层尽力，挑战层量力而行。

基础层（必做）

$(-12) + 7 - (-3) + (-8)$ 基础
$(-5) \times (-3) - 4 \times (-2)$ 基础
$(-18) \div 6 + (-4) \times (-3)$ 基础

中等层（应做）

$(-2)^3 + (-3)^2 - 5 \times (-1)^4$ 中等
$|{-4}| \times |{-2}| - |3 - 8| \div (-1)$ 中等
$\left(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}\right) \times (-12)$ 中等

挑战层（选做）

$-1^{2024} - (-1)^{2023} + (-2)^3$ 挑战
$\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{9} + \dfrac{7}{12}\right) \times (-36)$ 挑战

1 $(-12) + 7 + 3 + (-8) = (-12-8) + (7+3) = -20 + 10 = -10$

2 $15 - (-8) = 15 + 8 = 23$

3 $-3 + 12 = 9$

4 $-8 + 9 - 5\times1 = -8 + 9 - 5 = -4$ （$(-1)^4=1$，偶次幂为正）

5 $4 \times 2 - 5 \div (-1) = 8 - (-5) = 8 + 5 = 13$

6 $\left(-\dfrac{1}{3}\right)\times(-12) + \dfrac{1}{4}\times(-12) = 4 + (-3) = 1$

7 $-1^{2024} = -1$（负号在括号外！），$(-1)^{2023} = -1$，$(-2)^3 = -8$，原式 $= -1 - (-1) + (-8) = -1+1-8 = -8$

8 $\dfrac{1}{2}\times(-36) - \dfrac{5}{9}\times(-36) + \dfrac{7}{12}\times(-36) = -18 + 20 - 21 = -19$

核心规则

规则一：合并同类项

"字母和指数完全相同的项才能合并，只改系数"

$3a + 5a = 8a$ （系数 $3+5=8$，字母不变）
$3a + 2b$ 不能合并！（字母不同，不是同类项）
$5x^2 + 3x^2 = 8x^2$ （字母和指数都相同）
$5x^2 + 3x$ 不能合并！（指数不同）
$2ab - 3ab = -ab$ （$ab$ 和 $ba$ 是同类项）

规则二：去括号

"括号前是什么符号，就决定括号里的项变不变号"

括号前是"$+$"号 → 括号里每一项都不变号
$+(2a - 3b) = 2a - 3b$
括号前是"$-$"号 → 括号里每一项都要变号
$-(2a - 3b) = -2a + 3b$ （$+2a$ 变 $-2a$，$-3b$ 变 $+3b$）

最高频错误：$-(a - b + c) = -a - b + c$（只变了第一项）
正确：$-(a - b + c) = -a + b - c$（每一项都要变号！）

规则三：分配律展开

"括号外的数要乘以括号里的每一项"

$2(x + 3) = 2x + 6$ （$2$ 乘 $x$，$2$ 乘 $3$）
$-3(2a - 5b) = -6a + 15b$ （注意每一项都要乘，符号也要变）

例题精讲

例 1：化简 $5x - 3y + 2x - (-4y) + x$

过程

$5x - 3y + 2x - (-4y) + x$

$= 5x - 3y + 2x + 4y + x$ ← 去括号：$-(-4y) = +4y$

$= (5x + 2x + x) + (-3y + 4y)$ ← 同类项分组

$= 8x + y$

例 2：化简 $3(2a - b) - 2(a - 3b)$

过程

$3(2a - b) - 2(a - 3b)$

$= 6a - 3b - 2a + 6b$ ← 分配律展开，注意 $-2 \times (-3b) = +6b$

$= (6a - 2a) + (-3b + 6b)$

$= 4a + 3b$

例 3：化简 $4m - [3m - (2m - 1)]$

过程

$4m - [3m - (2m - 1)]$

$= 4m - [3m - 2m + 1]$ ← 先去小括号（内层）：$-(2m-1) = -2m+1$

$= 4m - [m + 1]$

$= 4m - m - 1$ ← 再去中括号：$-[m+1] = -m-1$

$= 3m - 1$

多层括号技巧：从内到外逐层去括号，每去一层都要仔细检查符号。

例 4（升级：分数系数）：化简 $\dfrac{1}{2}(6a - 4b) - \dfrac{1}{3}(3a + 9b)$

过程

$\dfrac{1}{2}(6a - 4b) - \dfrac{1}{3}(3a + 9b)$

$= (3a - 2b) - (a + 3b)$ ← 分数乘以每一项，先算清每个括号

$= 3a - 2b - a - 3b$ ← 去括号时前面是"−"，每项变号

$= 2a - 5b$

常见错误：第二步去括号时 $+3b$ 忘变号，写成 $-a+3b$。

例 5（升级：先化简再求值思路）：化简 $3(x^2 - 2x) - 2(x^2 - 3x + 1) + x^2$

过程

$= 3x^2 - 6x - 2x^2 + 6x - 2 + x^2$ ← 展开，注意 $-2\times(-3x)=+6x$

$= (3-2+1)x^2 + (-6+6)x - 2$

$= 2x^2 - 2$

重要习惯：高中求值题的标准流程是"先化简，再代入"，比直接代入少算很多、也不容易错。

课堂练习（代数式运算，分层）

基础层（必做）

化简：$7a - 3b + 2a - (-5b) - a$ 基础
化简：$4(x + 2) - 3(x - 1)$ 基础
化简：$2(3m - 2n) - (m + 4n)$ 基础

中等层（应做）

化简：$3x^2 - (5x^2 - 2x) + 4(x^2 - 3x)$ 中等
化简：$2a - [3a - (a + 2)]$ 中等
化简：$\dfrac{1}{3}(9x - 6y) - \dfrac{1}{2}(2x - 4y)$ 中等

挑战层（选做）

化简：$2x^2 - [3x - (x^2 - 2x + 1)] + 2$ 挑战
先化简，再求值：$3(a^2 - ab) - 2(a^2 - 2ab)$，其中 $a = -1,\; b = 2$ 挑战

1 $7a + 2a - a - 3b + 5b = 8a + 2b$

2 $4x + 8 - 3x + 3 = x + 11$

3 $6m - 4n - m - 4n = 5m - 8n$

4 $3x^2 - 5x^2 + 2x + 4x^2 - 12x = 2x^2 - 10x$

5 $2a - [3a - a - 2] = 2a - [2a - 2] = 2a - 2a + 2 = 2$

6 $(3x - 2y) - (x - 2y) = 3x - 2y - x + 2y = 2x$

7 $2x^2 - [3x - x^2 + 2x - 1] + 2 = 2x^2 - [-x^2 + 5x - 1] + 2 = 3x^2 - 5x + 3$

8 化简：$3a^2 - 3ab - 2a^2 + 4ab = a^2 + ab$；代入：$(-1)^2 + (-1)\times2 = 1 - 2 = -1$

核心规则

代入求值三步法

第一步：写出原式

第二步：用括号把每个字母替换为对应的值（负数必须加括号！）

第三步：按运算顺序计算

最高频错误：当 $x = -2$ 时，$x^2 = -2^2 = -4$（错！）
正确：$x^2 = (-2)^2 = 4$

记住：$-2^2$ 表示 $-(2^2) = -4$，而 $(-2)^2 = 4$。括号的位置决定了结果！

例题精讲

例 1：当 $a = -3,\; b = 2$ 时，求 $2a^2 - 3ab + b^2$ 的值。

过程

当 $a = -3,\; b = 2$ 时，

$2a^2 - 3ab + b^2$

$= 2 \times \boldsymbol{(-3)}^2 - 3 \times \boldsymbol{(-3)} \times \boldsymbol{2} + \boldsymbol{2}^2$ ← 负数代入加括号

$= 2 \times 9 - 3 \times (-6) + 4$

$= 18 + 18 + 4$

$= 40$

例 2：当 $x = -1$ 时，求 $\dfrac{x^2 + 3x}{x - 1}$ 的值。

过程

当 $x = -1$ 时，

$\dfrac{x^2 + 3x}{x - 1} = \dfrac{(-1)^2 + 3 \times (-1)}{(-1) - 1}$

$= \dfrac{1 - 3}{-2} = \dfrac{-2}{-2} = 1$

例 3（升级：分数代入）：当 $a = -2,\; b = \dfrac{1}{2}$ 时，求 $2a^2 - 4ab + b^2$ 的值。

过程

$2a^2 - 4ab + b^2 = 2 \times (-2)^2 - 4 \times (-2) \times \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$

$= 8 + 4 + \dfrac{1}{4} = 12\dfrac{1}{4}$（即 $\dfrac{49}{4}$）

常见错误：$b^2$ 代入写成 $\dfrac{1^2}{2} = \dfrac{1}{2}$，正确是 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$（分子分母都要平方）。

例 4（升级：整体代换）：已知 $x + y = 5,\; xy = 3$，求 $2x + 2y - 3xy$ 的值。

过程

$2x + 2y - 3xy = 2(x + y) - 3xy$ ← 先提公因式，凑出已知结构

$= 2 \times 5 - 3 \times 3 = 10 - 9 = 1$

整体代换思想：不需要知道 $x$、$y$ 各是多少，把 $(x+y)$ 和 $xy$ 当整体代入。这是高一经常考的题型，也是衔接 3 韦达定理的延伸！

课堂练习（代入求值，分层）

基础层（必做）

当 $a = -2$ 时，求 $a^2 + 3a - 5$ 的值。基础
当 $x = -1,\; y = 3$ 时，求 $x^2 - 2xy + y^2$ 的值。基础

中等层（应做）

当 $m = -4$ 时，求 $|m| - m^2 + 2m$ 的值。中等
当 $a = 2,\; b = -1$ 时，求 $(a + b)^2 - (a - b)^2$ 的值。中等
当 $x = -\dfrac{1}{2}$ 时，求 $4x^2 + 4x + 3$ 的值。中等

挑战层（选做）

已知 $a - b = 4$，求 $3a - 3b - 7$ 的值。挑战
先化简再求值：$2(x^2 + xy) - (2x^2 - xy)$，其中 $x = -2,\; y = 3$。挑战

1 $(-2)^2 + 3\times(-2) - 5 = 4 - 6 - 5 = -7$

2 $(-1)^2 - 2\times(-1)\times3 + 3^2 = 1 + 6 + 9 = 16$

3 $|{-4}| - (-4)^2 + 2\times(-4) = 4 - 16 - 8 = -20$

4 $(2+(-1))^2 - (2-(-1))^2 = 1^2 - 3^2 = 1 - 9 = -8$

5 $4\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + 4\times\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 3 = 4\times\dfrac{1}{4} - 2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

6 $3a - 3b - 7 = 3(a-b) - 7 = 3\times4 - 7 = 5$

7 化简：$2x^2 + 2xy - 2x^2 + xy = 3xy$；代入：$3\times(-2)\times3 = -18$（化简后只需一次乘法，体会好处！）

综合练习（限时 20 分钟）

混合练习，涵盖正负数、代数式化简、代入求值。前 6 题必做，后 3 题为挑战题。做完后对照答案自查。

计算：$(-7) + 12 - (-3) - 8 + (-5)$ 基础
计算：$(-2)^3 \div 4 + (-3)^2$ 中等
化简：$3(2x - y) - 2(x + 3y)$ 基础
化简：$5a - [2a - 3(a - 1)]$ 中等
当 $x = -2$ 时，求 $3x^2 - (x^2 + 4x) + 2x$ 的值。中等
当 $a = -1,\; b = -2$ 时，求 $a^2b - ab^2 + 2ab$ 的值。中等
计算：$-1^2 - 2^3 \div 4 + |{-6} \div 2|$ 挑战
化简：$\dfrac{2}{3}(6x - 9y) - \dfrac{1}{2}(4x + 6y)$ 挑战
先化简再求值：$3(2a^2 - a) - 2(3a^2 + 2a - 1)$，其中 $a = -\dfrac{1}{2}$ 挑战

1 $-7 + 12 + 3 - 8 - 5 = (12+3) + (-7-8-5) = 15 - 20 = -5$

2 $(-8) \div 4 + 9 = -2 + 9 = 7$ （注意 $(-2)^3 = -8$，$(-3)^2 = 9$）

3 $6x - 3y - 2x - 6y = 4x - 9y$

4 $5a - [2a - 3a + 3] = 5a - [-a + 3] = 5a + a - 3 = 6a - 3$

5 $3(-2)^2 - [(-2)^2 + 4(-2)] + 2(-2) = 12 - [4-8] - 4 = 12+4-4 = 12$

6 $(-1)^2(-2) - (-1)(-2)^2 + 2(-1)(-2) = -2 - (-4) + 4 = -2 + 4 + 4 = 6$

7 $-1^2 - 8 \div 4 + |{-3}| = -1 - 2 + 3 = 0$ （$-1^2=-1$ 而非 $1$！）

8 $(4x - 6y) - (2x + 3y) = 4x - 6y - 2x - 3y = 2x - 9y$

9 化简：$6a^2 - 3a - 6a^2 - 4a + 2 = -7a + 2$；代入：$-7\times\left(-\dfrac{1}{2}\right) + 2 = \dfrac{7}{2} + 2 = \dfrac{11}{2}$（化简后 $a^2$ 项消掉了，计算量大减！）

自查清单

做完综合练习后，对照以下清单自查：

☐ 每道计算题都写了完整的中间步骤？
☐ 去括号时，括号前是"−"号的，里面每一项都变号了？
☐ 代入负数时，都加了小括号？
☐ 运算顺序正确（先算指数，再算乘除，最后算加减）？
☐ 合并同类项时，只改了系数，字母和指数没动？

如果有任意一项打 ☒，说明那个方向还需要继续练。

M02 · 正负数与代数运算（升级版）

加减法口诀

关键转换

乘除法符号规则

乘方规则（升级版重点）

规则一：合并同类项

规则二：去括号

规则三：分配律展开

代入求值三步法